Mari néni fedezte fel
Budai László 1928. július 19-én született Rákospalotán. Tizennégy évesen a BRSC-ben kezdett el focizni, majd a Hutter Olaj SE-ben pallérozódott. Első felnőttklubja a Ferencváros lett, korábbi „hutteros” edzője, Takács I Géza, a „Mari néni” ajánlotta be őt a zöld-fehérekhez és az ifjúsági válogatottba, felfigyelve Bednarik (ez volt az eredeti neve) szélsőerényeire. Már első idényében nagy sikert ért el a Fradival, tagja volt a bajnokcsapatnak, remek labdákkal szolgálta ki társait, elsősorban a középcsatár Deák „Bambát” és a jobbösszekötő Kocsis „Kockát”, utóbbival kitűnő jobbszárnyat alkotott a Ferencvárosban, az ÉDOSZ-ban, majd a Budapesti Honvédban is. 1950 nyaráig 84 mérkőzésen szerepelt a zöld-fehéreknél, összesen 37 gólt szerzett. 1950-ben politikai nyomásra a Honvédhoz kellett igazolnia Kocsis Sándorral együtt. A Honvédban kapta a neve után a „sorszámot”, s lett Budai II, mivel akkor már volt a csapatban egy másik Budai László. A katonacsapattal további négy bajnoki címet (1950 ősz, 1952, 1954, 1955) szerzett. 1959-ben tagja volt a KK-győztes csapatnak. Kevesen tudják róla: 1955-ben újra játszott a Fradiban, illetve akkori nevén a Kinizsiben, mégpedig két mérkőzésen, kölcsönjátékosként, a Húsvéti Tornán. (A második az a híres mérkőzés volt Bécsben, a Rapid ellen, amelyen a Fradi ismét zöld-fehérben játszott, szembeszegülve a politika akaratával.) Az aktív futballtól egy motorbaleset után kényszerült visszavonulni, a hatvanas évek elején.
Balszerencsés volt a nagy tornákon
Első élvonalbeli idényének végéhez közeledve, 1949. május 8-án mutatkozott be a válogatottban. 1950 szeptemberében, az albánok elleni találkozóval bekerült egy nagyon szűk társaságba: azokéba, akik legalább négy gólt szereztek egy mérkőzésen a magyar válogatottban. Ennek ellenére Sebes Gusztáv kihagyta a nemzeti tizenegyből, s csak a helsinki olimpia előtt került vissza, igaz, a tornán sérülése miatt csak a románok elleni, turkui selejtezőn játszott. Bár 1953-ban részese volt a római stadionavatón az olaszok ellen elért győzelemnek (3–0) és az Évszázad mérkőzésén, Londonban aratott diadalnak (6–3), az 1954-es világbajnokságra kiutazó válogatottban nem ő volt az első számú jobbszélső. A tornán két mérkőzésen, a koreaiak és az uruguayiak ellen játszott. Az Aranycsapat időszakában (1950. június 4.–1956. október 14.) az alaptizenegy tagjai közül ő játszott a legkevesebb mérkőzésen, a szereplések számát tekintve Palotás Péter is megelőzte. Ugyanakkor a legtovább ő játszott a nemzeti tizenegyben a legendás csatárötösből, Czibor, Kocsis és Puskás 1957-ben külföldön maradt, Hidegkuti 1958-ban visszavonult. A válogatottban 39 mérkőzésen 10 gólt szerzett.
Katonacsapatok edzője
Budai László 1962-től tevékenykedett edzőként. Büszke volt katonatiszti esküjére, játékospályafutása befejezését követően is maradt a Néphadsereg kötelékében. Előbb az Egyesített Tisztiiskola csapatának (1962–1967), majd a névváltozás után a Kossuth KFSE (1967–1980) gárdájának szakvezetőjeként dolgozott Szentendrén. Alezredesként vonult nyugdíjba. 1983. július 2-án hunyt el Budapesten. Szülőhelye, Rákospalota stadionja, melyben a REAC játszik, az ő nevét viseli. 1991 óta emléktábla is őrzi az emlékét a pályánál.