Predesztináció
Nagyapja, István kétszer nyert olimpiát vízilabdában, 1952-ben és 1956-ban, édesapja 1976-ban lett olimpiai bajnok. Törvényszerű volt, hogy a sportágat választja Márton is. Már 2003-ban bemutatkozott a válogatottban, de a 2004-es olimpiai bajnok csapatba még nem tudott bekerülni.
Vb-érmek
A 2005-ös világbajnokságon már az ezüstérmes csapat tagja, a 2006-os Euroliga négyes döntőjében a legjobb játékosnak választották, de ez nem vigasztalta, mert a döntőt elveszítette a Dubrovnikkal szemben. A 2006-os Belgrádban elveszített Eb-döntőn is ott volt a csapatban, nem lehetett panasz a játékára. A 2007-es vb-döntőn ziccerben úszott kapura, hibázott, a csapat akkor is ezüstérmes lett, a horvátok győztek. "A horvát kapus bal kezéhez akartam lőni a labdát, úgy gondoltam, azon az oldalon sebezhető - idézte fel a Magyar Hírlapnak maga a játékos a döntő kulcsfontosságú pillanatát. - Mit csináljak, hallatlan bravúrral kivédte a lövést, az ellentámadásból kiegyenlítettek a horvátok. Ugye, megérti mindenki, hogy mennyire csalódott vagyok? Küzdöttünk, ahogy csak tudtunk, mindenki a legjobbját nyújtotta, nem volt elég. Borzasztó érzés volt látni a horvátok örömét, és hallani, hogy az eredményhirdetésnél nem a magyar, hanem a horvát himnusz szól."
A 2008-as olimpia előtt ismét kiszorult az utolsó szűkítésnél a válogatottból. A következő olimpiai ciklusban már elképzelhetetlen volt nélküle a válogatott, a 2012-es januári Eb-bronzérem bizakodásra adott okot. A londoni olimpián az ötödik helyen végzett társulat fontos tagja volt.
Világbajnoki arany, övé a mindent eldöntő gól
2013-ban Benedek Tibor vette át a csapat irányítását, és számolt vele is a világbajnokságon. Az augusztus eleji döntőben Montenegró elleni ő lőtte az utolsó, győztes gólt, amivel kialakította a 8-7-re végeredményt. "Így jött ki a lépés, hogy én lőttem, ez jó érzés, de nem ez volt a fontos, hanem a győzelem. Ha nem lövök gólt egyáltalán, és nyerünk, én akkor is ugyanilyen boldog lennék" - nyilatkozta szerényen a döntő után. A vb-sikerből egyébként 12 góllal vette ki a részét, a döntőben kétszer volt eredményes. A kapitány külön, név szerint kiemelte, mennyire kijárt már neki egy aranyérem.
Infarktus után Eb-döntő
2014. áprilisában a Szeged közleményben tudatta, hogy a csapat bajnoki mérkőzése után kezdődő infarktus miatt Szivós kórházba került, megműtötték, az állapota stabil. A kisebb kihagyás után bekerült a 2014-es budapesti Eb-n ezüstérmes magyar csapatba. A csoportmeccsen legyőzték a szerbeket, a döntőben nem tudták, Szivós egy gólig jutott.
Büntetőkkel úszott el az olimpiai álom
Szivós nagy álma volt, hogy ő is olimpiai bajnok legyen, mint az apja és a nagyapja. A riói olimpián három nappal a 35. születésnapja előtt kiderült, nem sikerülhet a kivételes, sporttörténelmi bravúr. Montenegró ellen ezúttal döntetlen lett a negyeddöntőben, a 9-9-es meccs után rögtön ötméteresek jöttek, és ezt a magyarok dobták gyengébben. A sors furcsa fintora, hogy veretlenül zárták a tornát az ötödik helyen. A Szivós dinasztia így is maradandót alkotott a sportágban, a nagypapa csak azért nem világbajnok, mert az ő időszakában még nem rendezték meg a tornát.
Edzősködés
Pályafutása befejezése után rögtön edzősködni kezdett, 2020 után ő vezeti a Honvédot.