Sportpályafutása
Szendrei József Karcagon született, 1954. április 15-én. Tizenhat évesen, Szolnokon kezdett egyesületben futballozni, 1973-ban került be először a helyi NB I/B-s csapatba. A következő évben bevonult, előbb a pécsi Steinmetz SE, majd a Budai II László által irányított Kossuth KFSE kapusa lett. Miután leszerelt, visszatért anyaegyesületéhez, ahol 1980-ig szerepelt. Huszonhat évesen lett élvonalbeli kapus, az NB I-ben újonc Nyíregyházában, Temesvári Miklós irányítása alatt. A Szendrei József – Polyák József, Szűcs István, Kozma József, Szekrényes András – Moldván Miklós, Czeczeli Károly, Szikszai Mihály – Pető László, Kiss Miklós, Kléninger László alapösszeállítású Szpari, nagy meglepetésre, a hetedik helyen végzett, úgy, hogy egyetlen csapat sem kapott kevesebb gólt nála. Szendrei József 28 mérkőzésen védett (hét jutott a veterán Buús Györgynek). 1981 őszén edzőjét, Temesvári Miklóst követve – a két klub közötti hosszú vita után – Újpestre szerződött, a lila-fehérekkel 1982-ben, 1983-ban és 1987-ben is a Magyar Népköztársasági Kupa győztese lett. A nemzetközi porondon olyan emlékezetes párharcok szereplője volt, mint a Real Madrid, az 1. FC Köln vagy az Aberdeen elleni.
Légiósként Spanyolországban
Harminchárom évesen ment légiósnak, első idényében a második osztályban védett Spanyolországban, majd négyet az elsőben. Előbb a Málaga, majd a Cádiz kapuját őrizte. Előbbiben Kubala László volt az első 33 fordulóban az edzője, rajta kívül csak egy légiós akadt, az argentin Armando Husillos. A csapat megnyerte a második osztályt, de ő váltott. Cádizban az első idényben csak a tavaszi idényben védett, 1990 nyarától már nagyobb szerepet kapott, de még mindig José Ramon Bermell számított első számú kapusnak. (Egyébként abban az idényben akadt magyar klubtársa is, a korábban szintén újpesti Schroth Lajos). Miként a következőben is. Az első három cádizi szezonjában 43 bajnokin védett, a negyedikben 37-en. Pályafutása utolsó idénye pazarra sikerült, 37-38 évesen első számú kapusa lett a Cádiznak. Ritkaság: az utolsó két idényében összeszedett egy-egy piros lapot.
Az A-válogatottban
Tízszer szerepelt az A-válogatottban, mindössze hat gólt kapott. Csupán két mérkőzésen, a görögök és a hollandok elleni idegenbeli Eb-selejtezőn kapott két gólt. 1984 októberében, a rotterdami holland–magyar előtt került először az A-válogatott keretébe. Túl a harmincon. A világbajnoki selejtezőkön még nem kapott játéklehetőséget, előbb Andrusch József, majd Disztl Péter mögött volt tartalék. 1985 decemberében, a mexikói túrán, Algéria ellen debütált, majd a következő év elején Ázsia válogatottja is védhetett. A mundialon az egyetlen megnyert mérkőzésen, Kanada ellen védett. Egyike annak a két magyar kapusnak (a másik Háda József volt), aki védett világbajnoki mérkőzésen, de nem kapott gólt. A következő két évben szerepet kapott Komora Imre, Verebes József és Bálint László kapitányi korszakában is. 1988. április 27-én, az angolok elleni találkozón védett utoljára a címeres mezben. Utolsó négy válogatott mérkőzésén csak az egy évvel később Európa-bajnok hollandoktól kapott gólt, a ciprusiaktól, a törököktől és az angoloktól nem.
Üzletemberként maradt a sport közelében
Visszavonulása után kevés szerepet vállalt a magyar futballban, 1994-től az olimpiai válogatott kapusedzője volt egy ideig, majd jelentkezett MLSZ elnöknek 1999-ben, akkoriban a Kecskeméti LC Szendrei-Joma Focisuli társadalmi elnöke volt. De az elmúlt évtizedekben leginkább üzletemberként tevékenykedik, a Joma sportszereit itthon forgalmazó céget vezeti. Fiai közül Péter a spanyol harmadik vonalban, a Lemonában is védett két mérkőzésen, a 2006–2007-es idényben. Másik fia, József, kosárlabdázóként, az Oklahoma Sooners tagjaként az Egyesült Államok egyetemi bajnokságának (NCAA) négyes döntőjében szerepelt, Amerikában él.