Korai évek
Pászti Elemér Szolnokon született 1889. dec. 20-án. Pászti Sándor és Ritter Antónia gyermeke.
1910-ben kezdte meg tanulmányait a budapesti egyetemen.
Sportolói pályafutása
Hosszú pályafutása során a PSE, az NTE és a Ferencvárosi VSC színeiben is versenyzett, de legjelentősebb címeit a BTC sportolójaként érte el.
A Budapesti Torna Club (BTC) színeiben az 1913., 1921., 1922. és 1925. években országos egyéni összetett tornászbajnokságot nyert. 1924-ben korláton, 1925-ben nyújtón országos egyéni bajnok. Az 1912., 1913., 1914., 1921., 1922. és 1928. években tagja volt a BTC országos tornász bajnokcsapatának.
Az 1912-es stockholmi nyári olimpián részt vett, ahol egyéni összetettben 13., csapatversenyben pedig második helyen végzett.
Pászti 16 évvel később, az 1928-as amszterdami olimpián tért vissza az olimpiára, ahol 7 tornaszámban indult.
Sportvezető
Aktív sportpályafutása befejezése után is a sportban maradt és az évek során különböző tisztségeket töltött be. Fontosabb tisztségei: a BTC alelnöke, a Magyar Országos Torna Szövetségnek 7 éven át főtitkára, később technikai vezetője, majd alelnöke, a Bíró Bizottság elnöke, a Gazdasági Bizottság helyettes elnöke, a Magyar Olimpiai Bizottság tisztikarának tagja, az Országos Testnevelési Tanács almanachjának munkatársa és az Országos Testnevelési és Sport Bizottság (OTSB) szaktanácsadója.
Magánélete
Pászti Elemér a híres magyar költő, József Attila sógora volt. 1914-ben feleségül vette József Jolánt, akitől gyermekük született. A 10 hónaposan elhunyt Elemér halála után 1917-ben elvált.
1914-ben Pászti könyvvizsgáló lett. 1925. október 18-án újraházasodott, elvette Deák Mária Ilonát, Deák Lajos és Cseh Ilona lányát.
A nyugdíjba vonulásáig a Pázmány Péter Tudományegyetemen dolgozott egyetemi gazdasági főfelügyelőként.
Az 1945. évben a MOTESZ főtitkára, 1946-ban annak alelnöke lett.
1965. okt. 27-én Budapesten hunyt el.