Angliába szerződése előtt csak az NB II-ben védett
Bogdán Ádám 1987. szeptember 27-én, Budapesten született. Rövidre szabott hazai pályafutását a II. kerület Utánpótlás Futball Clubban kezdte, majd a Vasashoz igazolt. A piros-kékek első csapatában bajnoki találkozón nem szerepelt, ellenben 2007 februárja és júniusa között kölcsönjátékosként 12 találkozón a Vecsésben, az NB II-ben védett. Még húszéves sem volt, amikor külföldre, Angliába költözött. 2007. július 1-én kötött szerződést a Bolton Wanderersszel. Még mielőtt a „Vándoroknál” bemutatkozhatott volna az első csapatban, 2009 szeptemberétől csaknem egy teljes idényt a Crewe Alexandra együttesében töltött, kölcsönjátékosként. Egyetlen mérkőzésen védett a League Two-ban, a Bury ellen, 2009. szeptember 29-én.
Az Év legjobbjának választották Boltonban
A Bolton első csapatában 2010. augusztus 24-én, a Southampton elleni Ligakupa-mérkőzésen szerepelt először. A Premier League-ben öt nappal később, a Birmingham ellen debütált. Ebben a szezonban és 2011 őszén még „csak” a klub második számú kapusa volt a nála 12 évvel idősebb finn Jussi Jääskeläinen mögött. A vetélytárs eltiltása azonban megnyitotta az utat, Ádám pedig élt a lehetőséggel. Noha klubja az idény végén kiesett a Premier League-ből, ez semmiképpen sem a kapuson múlt. A szezon végén a klub szurkolói őt választották az Év játékosává. 2012 nyarától három idényben 80 mérkőzésen védett a Bolton Wanderers színeiben a Championshipben. 2015 nyarán nem hosszabbította meg a szerződését, így átigazolási díj megfizetése nélkül vihette el a Liverpool FC.
Tizenegyesölőként mutatkozott be a Liverpoolban
Szeptember 23-án, a Carlisle United elleni Ligakupa-mérkőzésen mutatkozott be a Vörösöknél, elképesztően: a döntetlent követő szétlövésben három tizenegyest is kivédett. Ebben a sorozatban, a döntőig vezető úton, további két mérkőzésen, a Bournemouth és a Southampton ellen is ő védett. Az időközben a csapat élére kerülő Jürgen Klopp őt állította a kapuba december 20-án a Watford elleni bajnokin, majd az Exeter City elleni FA-kupa-mérkőzésen is. A magyar kapus mindkettőn hibázott, így már csak egyszer kapott szerepet a Vörösök első csapatában, a tavasz végén, a West Bromwich Albion elleni bajnokin. A 2016–2017-es idényre klubja kölcsönadta a Wigan Athleticnek. Tizenhét mérkőzésen védett a Championshipben, majd brutális sérülést szenvedett: november 19-én jobb lábában elszakadt a keresztszalag. 2018 nyarán védett ismét, a skót Hibernian gárdájában. Újra kiválóan védett, de megint utolérte a balszerencse: sérülése miatt hosszú hónapokon keresztül nem védhetett.
Három bajnoki címet nyert a Ferencvárossal
Miután 2019 nyarán lejárt eredeti szerződése a Liverpoolnál, a klub nem hosszabbított. Bogdán Ádám novemberben aláírt a Hibshez, ám tétmérkőzésen nem védett az idényben, összesen 16 bajnoki vagy kupamérkőzésen a kispadon ült. 2020 nyarán hazatért, a Ferencvároshoz írt alá. A zöld-fehérekkel 2023 nyaráig három bajnoki címet nyert (2020–2021, 2021–2022, 2022–2023), egyszer Magyar Kupa-győztes is lett (2021–2022). Összesen harmincöt találkozón védett. 2023 nyarán a visszavonulás mellett döntött. Azóta esetenként az angol labdarúgó-mérkőzések szakkommentátoraként látható a Spíler TV-ben, vagy éppen a magyar válogatott vagy a Ferencváros mérkőzésein beszél az M4 Sporton. 2025 tavaszán megkapta az Év legjobb szakkommentátorának járó Lázár Bence-díjat.
Válogatott mérkőzései egyharmadán nem kapott gólt
Bogdán Ádám ugyan már 2008-ban, a Málta elleni mérkőzés előtt kerettag volt, de 2011. június 3-án, Luxemburg ellen védett először az A-válogatottban. 2014. március 5-ig tizenkilenc találkozón védett, de a Liverpool tagjaként csak egy találkozón (a horvátok ellen, 2016 májusában, Eb-felkészülési mérkőzésen) kapott szerepet. Az Eb-keretbe nem került be. Ellentétben 2021-ben, amikor a Ferencváros második számú kapusaként is tagja lett az Eb-keretnek, Gulácsi Péter, valamint klubtársa, Dibusz Dénes mögött harmadik számú kapusként. Utoljára 2021. június 8-án, az írek elleni budapesti felkészülési mérkőzésen védett. Huszonegy válogatott mérkőzése egyharmadán nem kapott gólt.