Urányival a sportág első magyar olimpiai bajnokai
A sokszoros bajnok Varga Ferenc adta először a kezébe a kajaklapátot 1951 őszén. Fiatalon lett válogatott, talán innen származik beceneve, amellyel azóta egész életében illették: Öcsi.
Szorgalmával és tehetségével két év alatt beverekedte magát a felnőtt válogatottba, 1954-ben már indult a világbajnokságon. Élete legnagyobb sikerét az 1956-os melbourne-i olimpián érte el, ahol Urányi Jánossal együtt nagy fölénnyel nyerte az akkor utoljára megrendezett 10 000 méteres versenyszámot, ezzel a magyar kajak-kenu sport első olimpiai győzelmét aratták.
„Húszévesen nem tartottam olyan nagy dolognak. Kicsit komolytalanabbul fogtam föl. Nem úgy, mint Urányi Jancsi, aki tizenkét évvel volt idősebb nálam. Addigra sok kudarc érte már. Jellemző, hogy ő hogyan élte meg a győzelmet: föllépett a dobogóra, és elkezdett sírni. Én meg elővettem egy zsebkendőt, és megtöröltem a szemét. Egészen más érzések voltak benne, mint bennem, az biztos. Visszagondolva pedig úgy vagyok vele, mint egy játékkal. A sport maga egy játék.”
“„
Páros-specialista
Négy világbajnokságot nyert. 1958-ban Prágában szintén Urányival kajak párosban 10 000 méteren, 1963-ban Jajcéban kettőt – Tímár Istvánnal és a négyes tagjaként –, végül 1966-ban Szöllősi Imrével szintén hosszú távon. Hat Európa-bajnoki aranyából az elsőt 1957-ben Urányival 500 méteren, a következő kettőt 1961-ben Poznanban Szöllősi Imrével K–2 1000, illetve 10 000 méteren, a negyediket Jajcében Tímár Istvánnal (K–2 10 000 m), az ötödiket 1965-ben Snagovban ismét Szöllősivel (K–2 10 000 m), míg a hatodikat 1967-ben Kemecsei Imrével egy hajóban (K–2 10 000 m) szerezte meg. Mindemellett 1 vb-ezüst, továbbá 2-2 Eb-ezüst- és bronzérem teszi teljessé a világversenyeken gyűjtött éremgyűjteményét. Magyar bajnokságon 23 alkalommal volt első.
Pótolhatatlan örökség
1969-ben fejezte be az aktív versenyzést, ezt követően edzőként tevékenykedett, előbb az UTE majd az MTK szakosztályában. Éveken át segítette legendás mesteredző felesége, Rozsnyói Katalin munkáját.
Az UTE Tímár utai vízi telepe 2014 óta az Urányi, Fábián páros nevét viseli. Fábián Lászlót 2006-ban a Magyar Köztársasági Érdemrend tisztikeresztjével, 2012-ben Gerevich Aladár-emlékéremmel tüntették ki, 2016-ban megkapta a Magyar Olimpiai Bizottság (MOB) fair play bizottságának életműdíját.
Agyvérzés következtében lebénult, kerekesszékben élte utolsó éveit. 2018. augusztus 10-én hunyt el.