Kezdetek
A győri bencéseknél tanult meg vívni egy idős tanárától, Kiss Nándortól. Ezután a Győri Vívó Klubhoz (1948-1951) csatlakozott, ahol Tusnádi Alfréd foglalkozott vele. Mivel Győrben a csónakházhoz közel laktak, így a vívás mellett evezett is. A Győri Vívó Klub nagyon jó alapokat adott, amelyekre építve – már ifjúsági bajnokként - félelem nélkül lépett tovább a Bp. Haladásba, melynek 1956-ig volt tagja. Itt Szabó László volt a mestere. 1951-ben került fel Budapestre a TTK-ra vegyész szakra. Ekkor közel került a válogatott kerethez is, Jekelfalussy-Piller György olimpiai bajnok mentoráltjaként. 1954-ben Budapesten ott volt a főiskolai világbajnokságon, nem is akármilyen eredménnyel, mert egyéniben későbbi olimpiai bajnok társa, Keresztes mögött és a csapatban is ezüstérmet szerzett. A lengyelek elleni döntőben (7:9) Keresztes és Hámori 3-3 győzelmet jegyzett. Keresztes Zablocki és Hámori Kusewski elleni 5:0 arányú győzelmével 4:2-re alakult az eredmény a magyar csapat javára. 5:3-as állásnál a lengyelek óvást jelentettek be és emiatt több mint három órán át szünetelt a vívás. A folytatásban már 8:6-ra vezettek a lengyelek, de egy esetleges 8:8 esetén jobb találataránnyal még győzhetett volna a magyar csapat. Keresztes nyert (5:2), de az utolsó csörtében Pawlowski-Hámori 5:3. Hámori 1955-ben berobbant a felnőtt válogatottba, mert 1. helyet értek el Varsóban, Livornoban és a Santelli Kupán.
Római világbajnokság (1955)
A Varsóban, Livornoban és a Santelli Kupán elért eredmények után világbajnok lett a csapattal a római világbajnokságon (Gerevich Aladár, Hámori Jenő, Kárpáti Rudolf, Keresztes Attila, Kovács Pál, Palócz Endre). A legelső mérkőzésen Kuba nem jelenthetett akadályt (9:1), Hámori három győzelmet szerzett. Ugyanígy Anglia ellen is (11:5). Belgium (9:2) és a Szovjetunió (14:2) ellen nem vívott. Lengyelország ellen (11:5) hozta a megszokott három győzelmet. Az olaszokat 9:7-re verték a döntőben. Hámori szerepet kapott a fináléban is. A korabeli Népsport írta: „Hámori-Daré 5:4. Féltettük a fiatal magyar versenyzőt első világbajnoki szereplésénél, Hámori azonban ragyogóan kezdett, s pillanatok alatt 4:0-ra vezetett. Két találatot rosszul értelmezett a zsűri, 4:4 lett, de aztán győzött Hámori. Hámori-Comini 5:4, 2:0-ra, majd 2:1-re vezetett Hámori. Olyan nagy volt a hangzavar, hogy a zsűri elnöke leállította a mérkőzést, s bejelentette a technikai bizottságnak, hogy a közönség oda nem illő viselkedése mellett nem hajlandó tovább vezetni az összecsapást. Közel 15 percig folyt a vita, a közönség közben hol fütyült, hol tapsolt, végül már csak tapsolt, s ekkor folytatták a csörtét. Comini egyenlített, de Hámori nem ijedt meg. Győzelmével 4:1-re vezettünk ekkor. Ferrari-Hámori 5:4. Hámori szerezte az első tust, de attól kezdve végig az olasz állt jobban egy találattal. 4:3 után szép elővágással egyenlített Hámori, de a következő találatot elvette tőle a versenybíróság és kikapott 5:4-re. Narduzzi-Hámori 5:2. Hámori vezetett 1:0-ra, de aztán 4:1-re Narduzzi megugrott. A közönség tombolása megzavarta Hámorit, aki addig nagyszerűen küzdött. 8:7 lett a mérkőzés állása. Az utolsó csörtében dőlt el a világbajnokság sorsa: Kovács-Ferrari 5:4. Hámori az egyéni versenyben helyezetlen maradt, bár nagyon közel állt a döntőbejutáshoz. Szép kivitelezésű akciókat láthattunk tőle, mozgása a külföldi szakemberek körében is elismerésre talált.”
1956-os sikerek, melbourne-i olimpia
1956-ot remek sikerrel kezdte a válogatott, minden szóba jöhető ellenfelét legyőzve lett első Varsóban, a soraiban Hámorival, aki a szovjetek elleni döntőben négy győzelmet mutatott fel! Néhány hónappal az olimpiai játékok előtt Hámori az Eötvös Lóránd Tudományegyetemen vegyész oklevelet szerzett.
1956 a melbourne-i olimpia éve. Óriási volt a tolongás az átalakított csapatba való bekerülésért Gerevich-Kárpáti-Kovács mellé. Csak úgy hemzsegtek a tehetségek a hazai pástokon és persze Ausztrália is nagy vonzerővel bírt a számukra. Végül a vezetőség választása Keresztesre, Magayra és Hámorira esett a fiatalok közül. Tudásuk bemutatására kevés lehetőségük nyílt, mert a magyarok számára szinte sétagalopp volt az olimpiai csapatverseny. Kezdődött azzal, hogy Kolumbia nem jelent meg, ezért a csoportból a magyarok és az USA rögtön tovább is jutott, mérkőzés nélkül. A következő kanyarban a lengyelek és a magyarok is kiütötték az amerikaiakat (mi 9:1-re), így ennek a két csapatnak egymás ellen nem is kellett vívni, azonnal a legjobb négy közé kerültek. Hámori az amerikaiak ellen léphetett pástra és megállta a helyét, amennyiben egy meccset nyert, egyet vesztett. Következtek a franciák (12:4). Utánuk a feltörekvő szovjet és lengyel csapat várt még a kard professzoraira. A szovjeteknek nem nőtt az égig a jegenye, 9:4-es magyar vezetésnél a magyarok a hátralevő csörtéiket feladták (9:7). A döntőben a lengyeleken is átsétáltak a címvédők (9:4), akik a négy meccsükön átlagban három asszót „engedélyeztek” az ellenfeleiknek! A megerőltetés legkisebb szikrája nélkül született a sorrendben hatodik magyar kardcsapat arany (Gerevich, Hámori, Kárpáti, Keresztes, Kovács, Magay)!
Megindult a nagyvilágba karriert építeni
A hollywoodi stílusú vívó show szám
Az olimpia után Hámori sem csatlakozott a haza utazó csapattársaihoz. Bár egyedüli gyerek volt, de a szülei támogatták a tervét, hogy neki induljon a nagyvilágnak és igyekezzen karriert építeni. A Sport Illustrated magazin szervezte három hetes túrára először San Franciscoba repültek, onnan jártak körbe az Egyesült Államokban, bemutatókra vállalkoztak az amerikaiak nagy örömére. A szintén olimpiai bajnok társával, Magay Dániellel kitaláltak egy show számot, melynek története egy nő körül forgott és persze párbaj lett belőle, hollywoodi stílusban. Magay visszaemlékezése: „Látványosan vívtunk, majd a végén hirtelen elestem, ekkor Hámori a karddal a fejemre üt, és én meg lelövöm őt egy pisztollyal. Marhaság volt a javából, de nagy sikere volt Amerikában, a televízióban mutattak bennünket.”
Külföldi sikerei
Az USA-ban is folytatta a vívást, két amerikai bajnokságot is nyert, részt vett az 1962. évi világbajnokságon Buenos Airesben, ahol a csapatversenyben az USA szembe került a magyarokkal. A végeredmény nem lehetett kétséges, 11:5-re nyertek a magyarok, de Hámori is, Magay is 2-2 csörtét nyert. Tagja volt a tokiói olimpián (1964) az USA kard válogatottjának (7. hely) és a Pánamerikai Játékokra is válogatták a kolumbiai Caliba. 2003-ban beválasztották az amerikai vívás Hírességek Csarnokába.
1964-ben a Pennsylvania Egyetemen biokémiából PhD fokozatot szerzett. Ezután tanított a Cornell Egyetemen, a Deleware Egyetemen, majd a New Orleans-i Tulane Egyetem orvosi karán a biokémia professzoraként, több mint húsz éven át dolgozott itt. Két lánya, Krisztina és Izabella orvosok, nem mellesleg vívtak nemzetközi versenyeken is. Hámorinak négy unokája van.
Elismerései
Csík Ferenc-díj (2018)