Úszóként kezdte
Breslmayer László 1905-ben a Balaton UE úszójaként kezdte sportpályafutását. A nevét 1908-ban Beleznai-ra változtatta és utána már ezen a néven versenyzett. 1909-től a budapesti jogi egyetemen tanult és a MAFC színeiben versenyzett. 1912-ben a 100y-os gyorsúszásban magyar bajnoki címet szerzett. 1911-ben és 1912-ben a 4 x 100m-es gyorsúszóváltóval, 1911-ben a folyamúszó csapattal nyert bajnokságot. 1910-ben és 1912-ben 100 és 200m gyorson osztrák bajnoki címet szerzett. 1912-ben 100m-es gyorsúszásban 1 perc 05.4 mp-cel országos csúcsot állított fel. 1912-ben részt vett a stockholmi olimpián, ahol 100m-es gyorsúszásban indult és tagja volt a 4 x 200m-es gyorsváltónak is.
Vízilabdában is válogatott szinten szerepelt
A stockholmi olimpián a sérülések miatt beugróként tagja volt a magyar vízilabda válogatottnak, akikkel az ötödik helyet szerezte meg. 1912-től 1924-ig összesen hétszer szerepelt a magyar vízilabda válogatottban. 1917-ben a hadibajnokságot nyert csapat tagja is volt.
Civil pályafutása
A Budapesti Magyar Királyi Egyetem jogi karán 1913-ban doktorátust nyert. A világháború alatt katonai szolgálatot teljesített mint huszárfőhadnagy és érdemeiért számos alkalommal kitüntették. A háború után, 1920-ban ügyvédi oklevelet szerzett, saját praxisa volt, főként magánjogi ügyekre specializálva. Emellett a Budapesti Letéti Bank és még több kisebb-nagyobb iparvállalat jogtanácsosa is volt.
Szövetségi kapitányként olimpiai bajnok lett
Sportvezetőként a Magyar Úszó Szövetségben (MÚSz), 1919-ben az elsõ vízilabda játékvezető vizsgáztató bizottság tagjaként dolgozott Az 1924-es párizsi olimpián a magyar vízilabda-válogatott edzője, majd 1925–1926 közt kapitánya volt. Komjádi Béla halálát követően 1934-től 1936-ig ismét betöltötte ezt a pozíciót és mint a válogatott kapitánya 1936-ban a berlini olimpiai játékokon győzelemre vezette a magyar csapatot. 1929-1930-ban a MÚSz alelnöke, ügyvezetõ alelnök, 1929-tõl 1947-ig a Nemzetközi Úszó Szövetség (FINA) vízilabdatanácsának és a játékszabályokkal foglalkozó testületének, Board-nak tagja volt. Az úszósport terén szerzett kiváló érdemei elismeréséül a Kormányzó 1930-ban magyar királyi kormánytanácsossá nevezte ki. 1947-1948-ban további egy évig a MÚSz társelnökeként szolgálta a magyar sportot.