Balhátvédből lett világbajnok pingpongos
Várkonyi László hamar árván maradt: születésekor az édesanyja elhunyt, s rá néhány évre az édesapja is. 1923-tól futballozott a Postásban, 1923–1927-ig a Kereskedelmi Alkalmazottak Országos Egyesülete (KAOE) csapatában ismerkedett meg az asztalitenisszel. 1928 és 1941 között a Nemzeti Sport Club (NSC) játékosa, és Várkonyi-Weisz néven 1928-ban az NSC bajnokcsapat legfiatalabb tagja volt. Jóllehet tizenkilenc éves korában pingpongban már az országos bajnokcsapat tagja volt, komolyabban mégis csak a labdarúgással foglalkozott. Mint balhátvéd állandó tagja volt a Nemzeti B-bajnokságban szereplő Postás labdarúgócsapatának. 1942–1960-ig a Postás asztaliteniszezője és labdarúgója volt. 1942-ben ő alapította meg a Postás asztalitenisz-szakosztályát. A második világháborúban tisztázatlan körülmények között amerikai fogságba esett. Hazatérése után bekapcsolódott az újjászerveződő magyar asztalitenisz-életbe. Az 1949-es stockholmi és az 1952-es bombayi világbajnokságon győztes magyar csapat tagja volt, míg 1950-ben vb-ezüstérmet szerzett a csapattal.
Edzőként
1950–1951-ig a felnőttférfi-válogatott edzője, 1951–1955-ig szövetségi kapitánya volt. 1958–1972-ig a Postás és a Budapesti Egyetemi Atlétikai Club (BEAC) edzője. Postakézbesítő, majd a bp.-i 72. sz. postahivatal főellenőre volt. Leghíresebb tanítványa, Klampár Tibor kétszeres világbajnok asztaliteniszező. Várkonyi 55 évesen búcsúzott az aktív játéktól, ám edzőként 1972-ben bekövetkezett haláláig oktatott. Elméleti újítása az erőnléti edzések bevezetése volt. Edzői munkájának elismeréséül 1961-ben megkapta a mesteredzői kitüntetést. Szakíróként két szakkönyvet és számtalan tanulmányt jegyez. Legjelentősebb műve az 1952-ben megjelent Asztalitenisz című könyv, illetve az 1956-os, Az asztalitenisz edzésrendszere címet viselő kötet.