Szombathelyi alapok
Szombathelyen született, gyermekkorában a Haladás Egyesületében, még fellocsolt, tehát természetes jégpályán kezdett el korcsolyázni. A természetes jég télen csupán néhány hónapig tartott, így a korcsolyázás mellett László atletizált is.
1938-ban a BKE (Budapesti Korcsolyázó Egylet) teljes versenygárdája tartott Szombathelyen egy bemutatót, ahol testvérével Nagy Mariannal először láttak páros műkorcsolyázókat, és egyből szerelmesek lettek a sportágba, megjegyezték a mozdulatokat, majd autodidakta módon kezdték el gyakorolni a különböző elemeket.
Út a magyar válogatottig
Páros műkorcsolyában, Mariannal 1940/41-es szezonban elindultak első vidékbajnokságukon és meg is nyerték. 1941-43 között instabil politikai és gazdasági helyzet miatt néhány év kihagyásra kényszerültek, majd 1943 és 1949 között a BKE korcsolyázójaként versenyeztek. Dillinger (Rezső) Rudi bácsi volt első edzőjük.
1947-től a magyar korcsolya válogatott tagjaként számtalanszor képviselte hazánkat világversenyeken. A BKE támogatásával (Kékesy-Király páros műkorcsolyázókkal együtt) több alkalommal Arnold Gerschwiler nagytekintélyű szakembernél edzetek Angliában.
Király-váltás
A sikerek első éve 1948 volt, mikor a St. Moritz-i olimpián a Kékesy-Király magyar páros kiemelkedő ezüstérme mellett a Nagy testvérpár a 7. helyen végezett, megismételve ugyanezen év Európa-bajnokságának eredményét, ahol szintén a 2. és 7. helyezéssel végeztek a magyar párosok. Bár a világbajnokságon 1948-ban megtartották az öt hely differenciát, Prágában Kékesy-Király világbajnokként, Nagy Mariann és László hatodikként tért haza az akkor szomszédos Csehszlovákiából.
A magyar párosok barátságos vetélkedése 1949-ig fennállt, amikor is a Nagy testvérpár a BKE megszűnésével a MÉMOSZ SE-hez távozott (Magyar Építőmunkások Országos Szövetsége Sport Egyesület) és a Kékesy-Király páros befejezte közös pályafutását.
Innentől kezdve a Nagy testvérpár lehengerlően képviselte a magyarországi páros műkorcsolyázást. 1950 és 1958 között nyolcszoros magyar bajnokok voltak (1951-től a Budapesti Építők, majd 1953-tól a Csepeli Vasas/Csepel SC színeiben korcsolyázott).
Az 1950-ben, Osloban megszerezték első Európa-bajnoki címüket.
Az 1955. évi budapesti Európa-bajnokságon a Nagy-testvérpárt a magyar közönség általános érdeklődéssel várta. A magyar pár teljes mértékben beváltotta a reményeket, a legnehezebb gyakorlatanyagot mutatták be a legtökéletesebb kivitelben. Amikor a Nagy-testvérek hatalmas tetszés közben befejezték gyakorlatukat, a pontozók egyhangúlag a legmagasabb pontszámot adták, mind a gyakorlat tartalmára, mind pedig annak kivitelére. Ezzel el is dőlt a bajnokság sorsa, amely megérdemelten szép magyar sikert hozott.
Műkorcsolya után az orvoslás kiválóságaként
1954-ben a Budapesti Orvostudományi Egyetemen orvosi diplomát szerzett, 1956-ban sportorvosi diplomásként praktizált.
1954-től a budapesti Sportkórház orvosa, 1973-tól vezető főorvosa volt, eközben 1972-től a magyar korcsolyaválogatott, majd 1978-tól a magyar síválogatott melletti sportorvosi feladatokat is ellátta. 1987-tól a Magyar Labdarúgó Szövetség orvosaként tevékenykedett.
Edzőként is a jégen!
1958-tól az Ferencvárosi TC nevelőedzője volt, 1965-ben a Sportvezető és Edzőképző Intézetben műkorcsolya-szakedzői oklevéllel gazdagította képesítéseit. 1966-tól 1972-ig a Jászberényi Lehel SE vezetőedzője lett (tanítványai közül Almássy Zsuzsa később világbajnoki bronzérmes és Európa-bajnoki ezüstérmes lett).