Magyar bajnok kard egyéniben
Szántay Jenő jogásznak készült, 1896-tól Budapesten tanult és Arlow Gusztáv vívóiskolájában vívott. Rövid ideig a BEAC, majd 1896 és 1912 között a MAC egyesület kardvívójaként járta a versenyeket. A MAC-ban neves Italo Santelli vívómester tanítványa volt. 1904-ben megnyerte a pécsi vívóversenyt. 1908-ban magyar bajnoki címet szerzett kard egyéniben. 1912-ben pedig a Magyar Athletikai Club (MAC) kardcsapatának tagjaként csapatban lett aranyérmes.
Részvétel az 1908-as londoni olimpián
Tanulmányait megszakította és katonai pályára lépett, 1901. november 1-től nevezték ki hadnaggyá.
Mint sok más monarchia-beli tisztnek, 1906-ban a császári parancs akadályozta meg Szántay részvételét az athéni ún. soronkívüli olimpián. Császári katonatisztként, csak mint a monarchia versenyzője, osztrák színekben indulhatott volna.
Részt vett az 1908-as londoni olimpián, ahol az egyéni versenyben a negyedik helyen végzett. A három nappal korábban rendezett csapatversenyben, amit Magyarország nyert meg a Honvédelemi Minisztérium döntése alapján hivatásos tisztek nem foghattak fegyvert, így Szántay lemaradt egy biztos aranyéremről.
Korai halála
A londoni olimpia után inkább már csak külföldi versenyeken vett részt, 1911-ben Firenzében a második helyen végzett a nagy nemzetközi mezőnyben, talán legnagyobb győzelmét pedig 1913-ban Ostendében aratta, ahol egyéniben a legerősebb mezőny előtt tudott győzni, és tagja volt a győztes magyar csapatnak is.
Mint hivatásos katonát 1912-ben Pécsre helyezték, ahol a Pécsi Atlétikai Club színeiben vívott és oktatott. 1914-ben még harmadik helyen végzett az országos bajnokságon, hamarosan azonban a frontra vezényelték, ahol a soproni császári és királyi 9. (Nádasdy) huszárezred géppuskás osztagának parancsnokaként szolgált századosi rangban. A Limanowo (Nyugat-Galícia) melletti hegysíkon 1914. évi dec. hó 11-én reggel 7 órakor, ellenséges golyótól találva meghalt.
Az első világháborúban elhunyt vívók (Békessy Béla, Szarvassy György, Zulawszky Béla és Szántay Jenő) emlékére 1941-ig rendezték meg a Hősök emlékverseny viadalt, melyen mindenkor az év egyik legnagyobb vívóversenyének számított.