Sportpályafutása
Sárkány István tornász pályafutását 1927-ben kezdte az MTE színeiben, 1930-ban igazolt át a Vívó és Atlétikai Clubba. A második világháború után visszatért az MTE-be, majd 1951-ben a Budapesti Vörös Meteorban fejezte be aktív sportpályafutását. Csapatban egyszer (1949), egyéniben kétszer nyert országos bajnokságot, 1934-ben korláton, 1935-ben pedig nyújtón. 1931 és 1947 között nyolcszor szerepelt a magyar válogatottban. A magyar férfi csapat tagjaként 1934-ben Budapesten világbajnoki ötödik, 1936-ban Berlinben pedig olimpiai hetedik lett.
Edző, sportvezető
Az 1948-as londoni olimpián, mint csapatvezető vett részt. 1959-ben testnevelő tanári és edzői oklevelet szerzett, 1961-ben mesteredzői címet kapott. Visszavonulása után nemzetközi versenybíróként több nagy világversenyeken, köztük hat olimpián működött közre. Emellett csaknem húsz évig a Magyar Tornaszövetség főtitkáraként is dolgozott. Sárkány István érdeme a sportakrobatika és a ritmikus sportgimnasztika versenyszerkezetének kidolgozása és önálló sporttá szervezése. 1968 és 1975 közt a magyar férfiválogatott edzőjeként tevékenykedett. Nyugdíjba vonulása előtt az Állami Artistaképző Iskola vezetőtanáraként dolgozott. Első felesége és tanítványa, az ötszörös olimpiai bajnok tornásznő, Keleti Ágnes.
A TV torna születése
1975-ben a Magyar Televízióban Sárkány István egykori válogatott tornász, majd szövetségi főtitkár javaslatára és Radnai János a TV Sportosztály vezetőjének támogatásával elindították a TV Torna sugárzását. (Az ötlet először a Magyar Televízió kísérleti műsorainak idején, 1958-ban született). Az első adásra március 4-én került sor. Először hetenként csak kétszer, majd minden nap az esti TV híradó előtt 5 perces adásban igyekeztek mozgásra bírni a nézőket. A gyakorlatok vezetésére és bemutatására két egykori válogatott tornászt kértek fel, Müller Katalint és Bérczi Istvánt. Később az „előtornászok” névsora kibővült jeles tornászokkal. Kertész Aliz, Csányi Rajmund, Sárkány István, Pataki Ferenc, Ducza Anikó, Békési Ilona, Békési Sándor, Makray Katalin szerepelt. 1989-ben szűnt meg az adás.