A juniorok közt a kubai legenda érdeklődését is felkeltette
Édesapja, Imre Eb-ezüstérmes bokszedző, kezdetben féltette a gyerekeit a sportágtól, azt gondolta, hogy inkább vízilabdázniuk kellene. Balázs a család harmadik gyereke, akinek nem volt nehéz sportágat választania, mivel a két bátyja akkorra már bokszolt. Bacskai Imre saját bevallása szerint őt már kívülről tudta nézni, és nem sajnálta, amikor pofonokat kap. Bendzsi, ahogy a család szólította, a 2003-as a kadett Európa-bajnokságon szerzett bronzérmével mutatta meg először a képességeit. 2006-ban junior világbajnok lett Agadirban, és a sportág kubai legendája, Teofilo Stevenson elragadtatással beszélt róla, és gratulált neki. 2008-ban a felnőtt Eb-n a negyeddöntőben kiesett, a pekingi olimpiára nem tudott kvótát szerezni.
Eb-arany a felnőttek közt
A 2010-es Európa-bajnokságon első helyen végzett, ez élete legnagyobb sikere. A moszkvai elődöntőben az ukrán Selestyukkal szemben egy végig kiélezett találkozót nyert meg. Az utolsó három perc 2-2-es állással indult. Bacskai egy tiszta találat után okosan védekezett, majd még egyszer talált, és 4-2-re megnyerte a meccset. A döntőben a francia Vastine ellen imponáló magabiztossággal öklözött, tökéletesen mozgott el a pontos ütései után, a francia csak kereste őt a ringben. Két menet után már 8-0-ra vezetett, és végül 12-1-gyel nyerte meg az aranyérmet.
A francia öt éve legyőzött, és nem is volt túlságosan korrekt velem. Akkor, a vesztes meccsem közben, igaz, éppen csak, de fenéken billentett. Most végre válaszolni tudtam neki ezzel az aranyéremmel, amely egy hétig apunál lehet, és csak akkor kapom vissza tőle. Legalább ennyi jár neki
“„
A riói olimpiát az utolsó pillanatban csípte el
A 2011-es Eb-n mindjárt az első fordulóban összekerült a franciával, és akkor Vastie nyert. A vb-n a 16 között esett ki Bacskai, és a londoni olimpiára sem tudta kvalifikálni magát. 2016-ban bemutatkozott a WSB (World Series Boxing) félprofi versenysorozatában. 2016 júniusában olimpia kvótát szerzett. Rióban azonban már az első mérkőzésén kikapott francia ellenfelétől, Cissokhótól és kiesett.
A profik közt világbajnok
2017-ben, Harcsa Norberttel szemben kezdte profi karrierjét, három év múlva, 2020-ban a derekára csatolhatták a WBO interkontinentális övét, miután legyőzte Nick Klappertet. 2022-ben az egyik kisebb szervezet, az IBO bajnoka lett, de ezt a címét nem tette kockára, nem tudtak lekötni neki címvédő meccset. 2023-ban jelentette be visszavonulását, így profi karrierjét 16 sikerrel, vereség nélkül zárta. Hobbibunyósoknak ad tréningeket.