Kétszeres bajnok az MTK-val illetve a Hungáriával középfedezetként
Kléber Gábor 1901. május 23-án, Budapesten született. A III. Kerületi TVE játékosa volt 1919-től. A Munkácsy utcai Gimnáziumba (a mai Kölcseybe) járt, ottani testnevelőtanára irányította az óbudai klubba. Onnan került az MTK-ba 1924-ben, már első idényében az 1924–1925-ösben bajnok lett. Négy évvel később, már a profi korszakban, a Hungáriával, is nyert bajnoki címet. 1922 és 1931 között huszonkétszer játszott a válogatottban. (Pályafutása egy részében a Kompóti, sőt a Kompóthy magyarosított nevet kényszerült viselni.) Visszavonulása után edzőként (Soroksár, III. Kerület) és újságíróként (Nemzeti Sport, Képes Sport, Népsport), majd újra edzőként dolgozott, az SBTC, a Bp. Előre, a Tatabányai Bányász és a Dorogi Bányász gárdáját is irányította. 1946-ban megválasztották a Magyar Labdarúgó Edzőtestület főtitkárának. 1948 őszén, Sebes Gusztáv és Mandik Béla társaságában, tagja volt a háromfős válogatóbizottságnak. Sebes Gusztávnak nagy része volt abban, hogy ki kerüljön mellé a válogató bizottságba, Kléber Gábornak a megkérdőjelezhetetlen szaktudás mellett jó ajánlólevelet jelentett az MTK-s, illetve hungáriás múlt.
1956 után szilenciumra ítélték
1956 után kegyvesztetté vált, a Népsport 1958. augusztus 24-én közölte a legfelsőbb sporthatóság, a Magyar Testnevelési és Sporttanács döntését, mely szerint Kléber Gábor labdarúgó-edzőt az ellenforradalom alatt tanúsított magatartása miatt edzői működési engedélyének megvonására ítélte és mindennemű sporttevékenységtől örökre eltiltotta. Kléber Gábor, mint az edzők testületének vezetője, az államrenddel szemben ellenséges kijelentéseket tett és olyan intézkedéseket léptetett életbe, amelyek ellentétben állnak az érvényben lévő szabályokkal.” (Vezetője volt a labdarúgóedzők forradalmi bizottságának.) Az előző években főleg bányászkluboknál dolgozott, a bányászok szakszervezete megpróbált lépni az érdekében. Keveset lehetett, Kléber Gábor már csak az 1963-as, az amnesztiával is jelzett enyhülés után, a Tatabányához térhetett vissza. 1973. október 15-én hunyt el.