Édesapja profi játékos volt
Bánkuti István Budafok született, 1946. november 12-én született. A Beer néven született, később Béldi, majd Bánkuti néven játszó édesapja (szintén István) 1937 és 1943 között 106 meccsen szerepelt előbb a Budafok, majd a Törekvés balhátvédjeként az élvonalban. Fiai közül az idősebb, László az MTK és az Egri Dózsa támadójaként 52 mérkőzésen játszott az NB I-ben, szerepelt még a BMTE Kinizsiben és a Kossuth KFSE együttesében is. Epizodistaként tagja volt az MTK KEK-döntős alakulatának.
A franciák ellen játszott a válogatottban
Ifjabb Bánkuti István 1964-ben került a Budafoki MTE első csapatába, addigra már meghívást kapott az ifjúsági válogatottba. 1964-ben és 1965-ben a második osztályban játszott, aztán a Salgótarjáni BTC-hez igazolt. 1966. március 20-án, a Dorog elleni idegenbeli találkozón mutatkozott be az élvonalban. Először a középcsatár posztján játszott, de aztán visszarendelték a fedezetsorba. Nagyszerűen futballozott, Illovszky Rudolf megbízott szövetségi kapitány meghívta a válogatott keretbe. Az A-válogatottban egyszer játszhatott: 1966. szeptember 28-án Franciaország ellen. A Vasas fedezetének, Mathesz Imrének a helyére állt be. Az 1967-es idényt még az SBTC-ben töltötte, majd az esztendő végén, az Újpesti Dózsa átigazolta.
Sikerek a Dózsával
Akkor kezdődött Bánkuti István klubpályafutásának fényes szakasza: a lila-fehérekkel 1968 és 1974 között ötszörös bajnok (1969, 1970 tavasz, 1970–1971, 1971–1972, 1973–1974), kétszeres MNK-győztes (1969, 1971), Vásárvárosok Kupája-döntős (1969) volt. Sérülékenységétől rengeteget szenvedett, 1970 elejétől mindössze 15 bajnokin tudott játszani, az 1972–1973-as szezonban, például, egyet sem. 1974 nyarán visszavonult, a következő idény tavaszán, 1975. április 22-én az Újpesti Dózsa Göröcs Jánossal, Káposzta Benővel és Szentmihályi Antallal együtt búcsúztatta. Élete további (bő) két és fél évtizedében a Belügyminisztérium alkalmazottjaként dolgozott.