Sportpályafutása
Mészáros József 1906-ban versenyzett először az édesapja, Mészáros Ferenc által alapított Neptun Evezős Egyesület színeiben. Elsősorban egypárevezésben szerepelt. 1909-ben és 1911-ben országos bajnoki címet is szerzett ebben a számban legyőzve a kor két kiváló evezősét Levitzky Károlyt és Killer Ernőt.
Az 1912-es stockholmi olimpián is egypárevezésben indult. A negyeddöntőjét megnyerte, de belga ellenfele óvása miatt a futamot megismételték, ahol már ellenfele diadalmaskodott, így hármas holtversenyben az 5-7. helyen végzett. Egyes források szerint az óvást maga Mészáros nyújtotta be, mivel ellenfele átjött az ő pályájára. Még 1921-ben is bajnok tudott lenni kétpárevezésben. Az 1930-as években a Neptun öregfiúk csapatában versenyzett.
Orvosi pálya
Orvosi egyetemet végzett és sportpályafutása befejezése után a Posta Betegbiztosító orvosaként dolgozott és ebben a minőségben szolgálta tovább egyesületét is.