A kezdetek
Nevelőegyesülete a Magyar Testgyakorlók Köre, majd versenyzett az Elektromosban (Budapest Székesfőváros Elektromos Műveinek Testedző Egyesülete) és a Magyar Athletikai Clubban 1924-1944 között.
Janicsek Ödönként született a Somogy megyei Szentához tartozó Újmajorban. Hogy a szülők munkát találjanak, a család hamarosan Budapestre költözött. Ödön és három évvel idősebb bátyja, Gyula (később Európa-bajnoki ezüstérmes) a fővárosban kezdtek el birkózni, ekkor már Zombori néven. 1924-ben a MAC versenyzői lettek. Ödön a következő évben már győzött a kötöttfogású ifjúsági bajnokságban. Kis termete ellenére rendkívül erős és technikás birkózó vált belőle.
Sportkarrier
Első felnőtt országos bajnoki címét 1928-ban szerezte kötöttfogásban, légsúlyban. Be is került a válogatott keretébe, és részt vehetett az amszterdami olimpián, ahol az ötödik helyen végzett kötöttfogásban. 1929-ben magyar csapatbajnok lett a MAC gárdájával. 1930-ban szerezte első Európa-bajnoki érmét, harmadik volt kötöttfogásban, ezúttal pehelysúlyban. Egy esztendővel később már megnyerte az Európa-bajnokságot szabadfogás légsúlyban, emellett újra csapatbajnok volt, és szabadfogásban is övé lett a bajnoki elsőség.
Az 1932-es Los Angeles-i olimpián mindkét Zombori szerepelt. Ödön ráadásul két versenyben is indult. Kötöttfogásban a pehelysúlyúak (61 kg) között nem sikerült továbbjutnia, szabadfogásban viszont bekerült a légsúly (56 kg) döntőjébe, és ezüstérmet szerzett. Kárpáti Károllyal és Tunyogi Józseffel a gyorsan fejlődő magyar szabadfogású birkózás első olimpiai érmeit nyerték.
Az 1933-as Európa-bajnokságokon egyeduralkodó volt a légsúlyúak között, mindkét fogásnem tornáján ő lett a legjobb. A következő kontinensviadalon ezüstérmet szerzett kötöttfogásban. 1935-ben győzött utoljára (összesen ötödször, ebből háromszor egyéniben) az országos versenyen, kötöttfogás pehelysúlyban végzett az élen. Az 1936-os berlini játékokon ért fel a csúcsra: szabadfogás légsúlyban olimpiai bajnok lett. A könnyűsúly győztesével, Kárpáti Károllyal szerezték a magyar szabadfogású birkózás első olimpiai aranyérmeit.
Bár még 1944-ig tagja volt a MAC csapatának, a válogatottban ez után már nem szerepelt.
Visszavonulás után
Az Elektromos Művek díjbeszedőjeként, majd segédkezelőjeként dolgozott.
1946-ban, mikor szeretett klubját, a MAC-ot rendeletileg betiltották, Zombori Ödön neve B-listára került, és elvesztette az állását. Nem sokkal később a szintén berlini olimpiai bajnok Lőrincz Mártonnal kivándoroltak, 1948-ban Argentínában telepedtek le. Buenos Airesben tevékenykedett edzőként, majd az argentin birkózó válogatott edzője lett, tanítványaival szerepelt az 1956-os melbourne-i játékokon.
Ez után Los Angelesbe költözött, ahol azonban megfelelő diploma hiányában nem vállalhatott edzői állást, ezért villanyhegesztőként dolgozott. Közel 80 évesen, 1985-ben repülőgépre szállt, hogy hazatérjen. Az út alatt rosszul lett, agyvérzést kapott, a Szent János Kórház idegosztályára szállították, ahol négy évvel később bekövetkezett haláláig ápolták.
Az emlékfa
Az aranyérem története Deák Zsigmond írása, aki így emlékezik. Mielőtt egyetlen sort leírtam volna, elzarándokoltam Zombori Ödön tölgyfájához a Hűvösvölgybe. Kíváncsiságból, no meg ihletet meríteni. Kellemetlen, a hely nevéhez illően hűvös eső szemetelt, a felhők szinte ültek a budai hegyeken. Nem volt könnyű megtalálni az 1936-os olimpiai bajnoki címért kapott egykori facsemetét, amit az aranyérmes birkózó Berlinből hazatérve elültetett a helyi ferences rendház kertjébe. A területet azóta átparcellázták, de egyáltalán nem kacsalábon forgó paloták kedvéért. A Fővárosi Levéltár egyik részlege található itt, régi, leromlott állapotú villák és korábbi kiszolgáló épületeik, no meg egy igen impozáns fedetlen körtemplom. Az ősparkszerű, kevéssé gondozott környezetben akad elég tölgyfa, de Zomborié nincs meg elsőre. Az ott lakók egyike, egy hölgy nem tud segíteni, viszont a szomszédban egy úriember igen. Visszairányít oda, ahol már jártunk az előbb, s tényleg, az egyik kertben, a kerítésen túl, egy fa derekán ott a szinte olvashatatlanságig kopott és sötétedett emléktábla: „Ezt a fát Zombori Ödön ültette...” Az emlékét őrző terebélyes tölgy ott áll a hűvösvölgyi kis mellékutcában, két lehullott makk pedig azóta a polcomon pihen. A gyermekeim találták Zombori fája alatt.