Sportpályafutása három olimpiai részvétellel
Radvány Ödön görög-római (kötöttfogású) stílusban kezdett el birkózni. Legnagyobb sikereit a BAK színeiben aratta. 1908-ban, 20 évesen már az egyik legjobb magyar könnyűsúlyú birkózónak számított. 1909 és 1922 között 7 egyéni- és 2 csapatbajnoki címet nyert. Három olimpián vett részt, 1908-ban az ötödik, 1912-ben a negyedik és 1924-ben a hatodik helyen végzett. Londonban a második fordulóban aratott győzelme máig az olimpiák tíz leggyorsabb birkózódiadala között szerepel, merthogy 17 másodperc alatt fektette két vállra a brit Hawkinst. A ma nem hivatalosként számontartott világversenyek közül 1912-ben és 1913-ban Európa bajnokságot, 1920-ban világbajnokságot nyert. Az 1922-es világbajnokságon második, az 1923-as göteborgi ún. kisolimpián pedig első helyezést ért el. 36 éves korában fejezte be a birkózást és rövid ideig pankrátorként tevékenykedett.
Edző és szövetségi vezető
1924 és 1931 között a magyar kötöttfogású válogatott edzője, 1931 és 1944 között pedig a Magyar Birkózó Szövetség alelnökeként szolgálta szeretett sportágát. Civilben a BHG dolgozója volt.
A Radvány testvérek
Testvére Radvány Jenő jelentős szerepet játszott 1913-ban a Nemzetközi Nehézatlétikai Szövetség, amely a Nemzetközi Birkózó Szövetség jogelődje volt, valamint 1920-ban az önálló Magyar Birkózó Szövetség megalapításában.
Birkózó mérnök
Radvány Ödön a BME-n 1923-ban mérnöki oklevelet szerzett. Mérnök lévén, tudományos alapossággal kutatta az eredményes harcmodor kialakításának lehetőségeit. Több olyan fogást dolgozott ki és alkalmazott, amely világszerte elterjedt. Technikájának lényege, hogy az ellenfelet ki kell emelni egyensúlyhelyzetéből, hogy testi erejét ne tudja kihasználni. Technikájának kidolgozásában a test anatómiai, egyensúlyi rendszerét vette irányadónak. Súlyponti elméletét folyamatosan bővítette, és kidolgozta a fogások egész rendszerét (szaltó, szuplé, Radvány-féle Nelson, stb.), amivel a birkózásnak új irányt szabott. Kidolgozott fogástechnikáit világszerte alkalmazni kezdték. A korszerű birkózásnak nemzetközileg is egyik úttörője volt.